ÁNGULOS EXTERNOS DE UN TRIÁNGULO.

Los ángulos externos de un triángulo.

Son formados cuando extendemos los lados del triángulo. La suma de ángulos externos de un triángulo siempre es igual a 360°. Entonces, dependiendo del tipo de triángulo, podemos aplicar diferentes métodos para encontrar la medida de cada ángulo. A continuación, aprenderemos cómo determinar la medida de los ángulos externos de diferentes tipos de triángulos. Además, veremos algunos ejemplos de práctica.

Suma de ángulos externos de un triángulo.

La suma de los ángulos externos de cualquier polígono siempre es igual a 360°. Esto se debe a que, si es que unimos los ángulos externos, formaremos un círculo completo, el cual representa 360°. Podemos ver esto en el siguiente diagrama.

Los ángulos externos son formados al extender los lados del triángulo. Dependiendo del tipo de triángulo, las medidas de cada ángulo externo cambiarán, pero la suma siempre seguirá siendo la misma.

Calcular los ángulos externos de un triángulo equilátero.

Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene todos sus lados con la misma longitud y todos sus ángulos internos con la misma medida. Esto significa que todos sus ángulos externos también tienen la misma medida.

Dado que la suma total de los ángulos externos es igual a 360°, podemos dividir por 3 para obtener la medida de cada ángulo externo en un triángulo equilátero. Entonces, tenemos:

360°÷3=120°

Calcular los ángulos externos de un triángulo isósceles.

Para determinar las medidas de los ángulos externos, necesitamos la medida de por lo menos un ángulo externo o interno. Usamos los hechos que la suma de los ángulos externos es igual a 360° y que la suma de un ángulo interno y su ángulo externo correspondiente es igual a 180°.

Determina las medidas de los ángulos externos faltantes.

Solución: Los ángulos que están marcados con doble línea son iguales, por lo que tenemos b=130°. Para encontrar la medida del ángulo a, tenemos que sumar las medidas de los ángulos conocidos y restar de 360°. Entonces, tenemos:

130°+130°=260°

⇒ 360°-260°=100°

El ángulo a mide 100°.

Calcular los ángulos externos de un triángulo escaleno.

Los triángulos escalenos tienen todos sus lados con longitudes diferentes y todos sus ángulos internos con medidas diferentes. Esto significa que todos sus ángulos externos también tienen medidas diferentes. Entonces, para calcular la medida de un ángulo externo, necesitamos conocer la medida de dos ángulos internos o dos ángulos externos.

Determina la medida del ángulo externo faltante en el siguiente triángulo escaleno.

Solución: Sumamos las medidas de los ángulos conocidos y restamos de 360°. Entonces, tenemos:

110°+130°=240°

⇒ 360°-240°=120°

El ángulo faltante mide 120°.

SECANTE DE UNA CIRCUNFERENCIA.

La secante de una circunferencia.

Es la línea que pasa a través de dos puntos de la circunferencia. Por su parte, la circunferencia es definida como el conjunto de puntos que están ubicados a la misma distancia desde un punto fijo llamado el centro. A continuación, conoceremos algunos detalles sobre las secantes de circunferencias. Veremos cuáles son las diferencias entre secantes, cuerdas y tangentes.

Definición de la secante de una circunferencia.

La palabra “secante” proviene de la palabra Latín “secare” que significa “cortar”. En este caso, la secante “corta” a la circunferencia. Las secantes tienen una parte que se encuentra dentro de la circunferencia y dos partes que se extienden hacia los exteriores de la circunferencia.

Diferencia entre la secante y la cuerda.

Una secante es una línea que interseca a la circunferencia en dos puntos diferentes, mientras que una cuerda es un segmento que topa a la circunferencia en dos puntos. La diferencia principal es que las secantes pueden ser extendidas en ambos lados, pero las cuerdas no pueden ser extendidas. Partes de la secante se ubican dentro de la circunferencia y partes de la secante se ubican afuera de la circunferencia. Por otra parte, las cuerdas se ubican completamente dentro de la circunferencia.

Diferencia entre la secante y la tangente.

Las secantes son líneas que intersecan a las circunferencias en dos puntos diferentes, mientras que las tangentes son líneas que topan a la circunferencia en un solo punto. Tanto la secante como la tangente pueden ser extendidas hacia ambos lados. Sin embargo, a diferencia de las secantes que tienen partes que se ubican dentro de la circunferencia y partes que se ubican afuera, las tangentes se ubican completamente afuera de las circunferencias.

ARCO DE UNA CIRCUNFERENCIA.

Un arco de una circunferencia o de un círculo.

es una porción de la circunferencia. La longitud de un arco es simplemente la longitud de esta porción de la circunferencia. La circunferencia en sí, puede ser considerada un arco que da la vuelta completa al círculo. A continuación, conoceremos las diferentes fórmulas y métodos que podemos usar para encontrar la longitud del arco usando tanto grados como radianes. Luego, veremos algunos ejercicios en donde aplicaremos estos métodos.

¿Cómo encontrar la longitud del arco?

La longitud del arco es igual a la longitud de una porción de la circunferencia. Además, también tenemos que considerar a la medida del arco, la cual es igual al ángulo central que interseca al arco. Podemos mirar a la medida del arco y a la longitud del arco en el siguiente diagrama:

Ahora, consideremos las siguientes proporciones:

Podemos resolver esto para la longitud del arco y reemplazar la “medida del arco” por “ángulo central” ya que son equivalentes. Entonces, tenemos:

Podemos observar que la longitud del arco es una parte fraccionaria de la circunferencia. Por ejemplo, la medida del arco de 60° es igual a un sexto de 360°, lo que significa que la longitud del arco también será igual a un sexto de la longitud de la circunferencia.

Medidas en radianes.

La medida en radianes, θ, de un ángulo central es definida como la proporción de la longitud del arco, s, dividida por el radio del círculo, r:

Usando esto, podemos calcular la longitud del arco de la siguiente manera:

DIÁMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA.

El diámetro de una circunferencia:

Es el segmento de línea que conecta a dos puntos en la circunferencia y que pasa por el centro. El diámetro también es definido como la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. La longitud del diámetro puede ser calculada usando tanto la longitud del radio como la longitud de la circunferencia. A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para calcular las longitudes de diámetros de circunferencias. Luego, aplicaremos estas fórmulas para resolver algunos ejercicios.

Fórmula del diámetro de una circunferencia.

Para calcular la longitud del diámetro de circunferencias, podemos usar tanto a la longitud del radio como a la longitud de la circunferencia.

Encontrar el diámetro de la circunferencia usando el radio.

La longitud del diámetro es exactamente el doble de la longitud del radio. Entonces, si es que conocemos la longitud del radio, podemos encontrar la longitud del diámetro usando la siguiente fórmula:

en donde, r es la longitud del radio.

Encontrar el diámetro usando la circunferencia.

Generalmente, el diámetro es usado para calcular la circunferencia, por lo tanto, también es posible calcular la longitud del diámetro si es que tenemos la circunferencia. La fórmula de la circunferencia es:

Entonces, la fórmula del diámetro de una circunferencia es:

en donde, C es la longitud de la circunferencia y π es una constante matemática que tiene un valor aproximado de 3.1416.

PARTES DE UNA CIRCUNFERENCIA.

 La circunferencia.

Una circunferencia es definida como una figura bidimensional que tiene una forma completamente redonda. Las circunferencias se caracterizar por tener todos sus puntos con la misma distancia desde un punto fijo. El punto fijo es llamado el centro y la distancia desde el centro hasta la circunferencia es llamada el radio. Las partes más importantes de la circunferencia son el centro, el radio, el diámetro, la cuerda, la tangente, la secante y otros. A continuación, conoceremos más detalles de las partes de la circunferencia. Usaremos ilustraciones para mejorar el entendimiento de los conceptos.

Partes importantes de una circunferencia:

Centro: El centro es definido como el punto fijo que se ubica en el interior de la circunferencia. Este punto es equidistante a cualquier punto en la circunferencia.

Radio: El radio de una circunferencia es la distancia constante desde el centro hasta cualquier punto en la circunferencia. El radio es generalmente representado con la letra r.

Arco: El arco es definido como una porción de la circunferencia. El arco es limitado por dos puntos en la circunferencia. Un ángulo es usado para medir al arco.

Cuerda: La cuerda es un segmento de línea que se ubica en la parte interna de la circunferencia y que une a un par de puntos en la circunferencia.

Diámetro: El diámetro es un segmento de línea que une a dos puntos en la circunferencia y que pasa a través del centro. El diámetro también es definido como una cuerda que pasa a través del centro. La longitud del diámetro es exactamente el doble de la longitud del radio.

Tangente: La tangente es una línea recta que pasa por la parte exterior de la circunferencia y que la toca en un solo punto.

Secante: La secante es una línea recta que pasa por la parte interna de la circunferencia y que la toca dos puntos diferentes.

Otros partes de una circunferencia:

Semicircunferencia: La semicircunferencia es definida como un arco que es igual a la mitad exacta de la circunferencia. La semicircunferencia está limitada por los dos extremos del diámetro.

Ángulo central: En ángulo central de la circunferencia, dos radios forman sus lados.

Ángulo inscrito: En un ángulo inscrito de la circunferencia, el vértice se ubica en un punto en la circunferencia. Además, los lados son formados por dos cuerdas de la circunferencia.

Te invito a poner a prueba tus conocimientos mediante el siguiente crucigrama:

https://es.educaplay.com/recursos-educativos/11027593-partes_de_una_circunferencia.html

TIPOS DE RECTAS QUE SE PUEDEN TRAZAR EN UN TRIÁNGULO Y SUS PUNTOS.

Recta: Mediana – Punto: Baricentro.

La mediana de un triángulo son las rectas que unen cada vértice con el centro de su lado opuesto.

El punto de intersección de las medianas recibe el nombre de baricentro. El baricentro es también el centro de equilibrio de un triángulo.

Recta: Mediatriz – Punto: Circuncentro.

Las mediatrices son rectas perpendiculares a los puntos centrales de cada lado.

El punto de intersección de las mediatrices se conoce como circuncentro. El circuncentro coincide con el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Recta: Bisectriz – Punto: Incentro.

Las bisectrices de un triángulo son rectas que dividen cada uno de sus ángulos en dos ángulos de la misma medida.

El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro. El incentro permite trazar una circunferencia inscrita en el triángulo que será tangente a todos los lados del triángulo.

Recta: Altura – Punto: Ortocentro.

La altura es cada uno de los segmentos perpendiculares que van desde un vértice a su lado opuesto.

El punto donde las tres alturas de un triángulo se cortan se llama ortocentro.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.

TRIÁNGULO:

Vamos a estudiar qué es un triángulo y las diferentes formas de clasificarlo. Empezaremos diciendo que un triángulo es un polígono que tiene tres lados. También podemos definirlo como el área cerrada por tres rectas. Además de tener tres lados, un triángulo también tiene tres ángulos y tres vértices. Veamos qué es cada uno de ellos:

Lados: tiene tres y son las rectas que forman el polígono.

Vértices: tiene tres y son cada uno de los puntos donde se unen dos lados.
Ángulos: tiene tres y son las aberturas que se forman al unirse dos lados.

Tipos de triángulos según sus lados:

Triángulo equilátero :Tiene sus tres lados iguales, es decir, los tres lados son de la misma longitud.

Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales (de igual longitud) y otro no.

Triángulo escaleno: Tiene los tres lados diferentes, es decir, de distinta longitud.

Tipos de triángulos según sus ángulos:

Triángulo rectángulo: Dos de sus lados forman un ángulo recto, o lo que es lo mismo, tiene un ángulo de 90º.

Triángulo acutángulo: Todos sus ángulos son agudos, o lo que es lo mismo, todos sus ángulos miden menos de 90º.

Triángulo obtusángulo: Dos de sus lados forman un ángulo obtuso, o lo que es lo mismo, tiene un ángulo de más de 90º.